[Математика для усіх]: Олімпіадні завдання

1. У лютому деякого року 2419200 секунд. Чи високосним був цей рік?

(У високосному році 366 днів, в інших - 365 днів).

Відповідь: рік не високосний.

Розв’язання. Число 2419200 ділиться на 7 (перевіряється безпосередньо). Отже, у лютому 28 днів, а рік - звичайний.

2. Відновити ребус ВОДА + ВОДА = ЗАВОД (однаковим літерам відповідають однакові цифри, різним літерам - різні цифри).

Відповідь: 8947+ 8947 = 17894.

Розв’язання. Зрозуміло, що З = 1 і А ≠ 0 (інакше А = Д = 0). Підставляючи

А = 2, 3, ..., 9, знаходимо єдиний розв’язок 8947 +8947 = 17894.

3. Сума 2010 натуральних чисел - непарне число. Яким числом - парним або непарним - є добуток цих чисел?

Відповідь: парним.

Розв’язання. Якби всі числа були непарними, то їх сума була б парною. Отже, серед цих чисел є парне число. Тоді добуток – парний.

4. У числі 7 ****** 1 замініть зірочки цифрами так, щоб сума будь-яких трьох сусідніх цифр дорівнювала 11. Знайдіть всі розв’язання і доведіть, що інших немає

Відповідь: 71371371.

Розв’язання. Нехай перша зірочка х, тоді друга 4 - х, третя - 7, четверта знову х, п'ята 4 - х, шоста 7, сьома - х, і вона дорівнює 1. Значить, х = 1, 4 - х = 3.

5. Дано числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Розташуйте їх так, щоб суми на кожній стороні трикутника були рівними: а) одному парному числу; б) одному непарному числу; в) трьом послідовним натуральним числам.
Відповіді: Починаючи з вершини за часовою стрілкою, числа розміщуються так:
а) 5; 3; 4; 8; 1; 9; 2; 6; 7( на кожній стороні по 20).
б)8; 5; 3; 7; 6; 1; 9; 4; 2; ( на кожній стороні по 23)
в) 8; 3; 5; 7; 6; 2; 9; 1; 4(це числа 22,23,24).

6. Поставте між числами довільні арифметичні дії (без повторень знаків дій) так, щоб виконувалась рівність: 6 3 3 = 6 3 3.
Відповіді: Враховуючи перестановку лівої та правої частин рівності, отримаємо: 63:3 = 6∙3+3; 6+3-3 = 6∙3:3; 6∙3:3 = 6-3+3; 6:3∙3 = 6+3-3; 6-3+3 = 6∙3:3; 6∙3+3 = 63:3.

7. Дід сам випиває діжечку квасу за 14 днів, а разом з бабою випиває таку ж діжечку квасу за 10 днів. За скільки днів одна баба вип'є таку ж діжечку квасу?
Відповідь. За 70 днів один дід вип’є 70:14=5 діжечок квасу, а дід і баба разом вип’ють 70:10=7 діжечок квасу. Отже, одна баба за 70 днів вип’є 7-5=2 діжечки квасу. А одну діжечку квасу баба вип’є за 70:2=35 днів.

8. Якими способами можна видати зі складу 185 кг фарби, за допомогою лише відер вагою 16 кг, 17 кг, 21 кг? Запиши усі можливі розв'язки.
Відповідь: 1 спосіб: 8 відер по 21кг та 1 відер по 17 кг.
2 спосіб: 2 відра по 16 кг та 9 відер по 17 кг.
3 спосіб: 1 відро по 16 кг, 5 відер по 17 кг та 4 відра по 21 кг.
4 спосіб: 5 відер по 16 кг та 5 відер по 21 кг.
5 спосіб: 6 відер по 16 кг, 4 відра по 17 кг та 1 відро по 21 кг.

9. У два бідона вміститься десять з половиною літрів води. Якщо б об'єм першого бідона був у два рази більше, а об'єм другого бідона на 8 л більше, ніж в дійсності, то загальний об'єм подвоївся б. Який об'єм кожного бідона?
Відповідь: х+8+ 2∙у = 2∙10,5. Або х+х + у+у = 21. Звідси, другий бідон має 8 літрів, а другий 2,5 літри.

10. Дано 7 монет. Дві з них фальшиві(легші, ніж справжні). За два зважування на терезах без гир вказати три справжні монети.
Відповідь. Перенумерувати монети від одного до семи. На одну шальку (назвемо її А) терезів покласти монети з номерами 1,2,3, а на другу шальку терезів(назвемо її Б) покласти монети з номерами 4,5,6. Отримаємо два випадки: або рівновагу, або тяжчу чашечку терезів(на ній усі справжні монети). У випадку рівноваги двох шальок, монета під номером 7 – справжня, то за одне зважування монет під номером 1 та 2 легко вияснити дві дійсні монети. Якщо вага монети 1 рівна вазі монети 2, то це дійсні монети. У випадку не рівноваги монет 1 та 2, тяжча монета та монета 3 і 7 є справжніми.

11. Чи можна видати за допомогою тринадцяти грошей номіналом 25; 5; 1 гривень суму 198 гривень?
Відповідь: Тринадцять будь-яких непарних доданків у сумі дають тільки непарні числа, отже, тринадцять непарних чисел не можуть дати у сумі парне чило. Не можна.

12. На конгресі зустрілися біолог, історик, математик і хімік. Кожний із них володів двома іноземними мовами з числа таких: англійська, італійська, німецька, російська. При цьому не було такої мови, якою б володіли всі, але була одна, якою володіли троє. Ніхто не знав німецьку і російську мови одночасно. Хоча хімік і не розмовляє англійською, він може бути перекладачем, якщо захочуть поговорити біолог та історик. Історик знає російську мову і може поговорити з математиком, хоч той і не знає російської мови. Хімік, біолог і математик можуть розмовляти втрьох однією мовою. Якими мовами володіє кожний із вчених?
Відповідь: хімік знає російську і італійську, історик знає англійську та російську, біолог знає німецьку, італійську, математик знає англійську та італійську.

13. Велосипедист проїжджає 1 км за вітром за 3 хв, а проти вітру − за 5 хв. За скільки хвилин він проїде 1 км, коли не буде вітру?
Відповідь: 1/3 км за хвилину швидкість руху за вітром, 1/5 км швидкість руху проти вітру. Тоді різниця цих швидкостей є подвоєнною швидкістю вітру, тобто 1/3 - 1/5 = 2/15 км за хвилин, а швидкість вітру становить 1/15 км за хвилину. Різниця швидкості велосипедиста за вітром та швидкості самого вітру це 1/3 -1/15 = 4/15 км за хвилини власна швидкість. Обернений дріб до 4/15 означає час руху велосипедиста, за який він подолає 1 км.
Це дріб 15/4 = 3 хвилини 45 секунд.

14. У класі 25 учнів. Відомо, що серед довільних трьох учнів є двоє друзів. Доведіть, що є учень, у якого не менше ніж 12 друзів.
Вказівка. Припустимо, що немає учня, у якого рівно 12 друзів. Тоді, розподілимо усіх учнів по кімнатам. У кімнату під номером 0 помістимо учнів, у яких немає друзів. У кімнату під номером 1 помістимо учнів, у яких тільки один друг У кімнату під номером 2 помістимо учнів, у яких тільки двоє друзів. І так далі, у кімнату під номером 11 помістимо учнів, у яких тільки 11 друзів. Якщо у кожній кімнаті по два чоловіки, то усіх учнів у класі 24, це протиріччя вказує на неправильне припущення.

15. Якби Колі купив три зошити, то в нього залишилося б 11 коп., а коли б він захотів купити 9 таких зошитів, то йому не вистачило 7 коп. Скільки грошей у Колі?
Відповідь. 7+11=18 коп припадає на 9-3=6 зошитів. Отже, один зошит коштує 18:6=3 коп. 3∙3+11=20 коп було у Колі.

16. Олег, Борис і Віктор вирішили за прикладом Куклачова приступити до дресирування своїх кошенят. Борине кошеня стрибало через палицю краще, ніж кошеня сіамської породи. Персидське кошеня стрибало краще ніж Мурзик. Вітине кошеня стрибало краще, ніж Пушок, а Тигрик стрибав не гірше, ніж персидське кошеня. Але сибірському кошеняті надоїло дресирування, і воно подряпало свого господаря. Кого подряпало сибірське кошеня?
Відповідь. Віктор мав сибірського кота Тигрика. Борис мав персидського кота Пушка, Олег мав сіамського кота Мурзика.

17. Для номерації сторінок підручника використали 312 цифр. Скільки сторінок в цій книжці? Скільки цифр потрібно для нумерації сторінок книжки, яка має 160 сторінок?
Відповідь. 9 цифр для нумерація перших дев’яти сторінок, для 90 двоцифрових номерів сторінок потрібно 180 цифр. 312 -189 = 41∙3, отже у книзі 140 сторінок. Для нумерації 160 сторінок потрібно 9+2∙90+3∙61=372 цифри.

22.Сума 2014 натуральних чисел – непарне число. Яким числом (парним або непарним) є добуток цих чисел?

Відповідь: парним.

23. Є дві купки камінців по 13 в кожній. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, кому нема що брати. Хто може забезпечити собі перемогу в цій грі?

Відповідь: Другий гравець.

Розв’язання. Другий гравець буде повторювати ходи першого, але братиме камінці з іншої купки.

24. Чоловік підійшов до клітки, в якій сиділи фазани й кролі. Спочатку він порахував голови – їх виявилось 15. Потім він порахував лапи – їх було 42. Скільки кролів і скільки фазанів було в клітці?
Розв’язання. Якби в клітці були тільки фазани, то їх було б 42 : 2 = 21. Заміна двох фазанів на одного кроля не змінює кількості лап, але зменшує кількість голів на одну. Кількість голів треба зменшити на 21 – 15 = 6. Отже, в клітку замість 6 • 2 = 12 (фазанів) треба помістити 6 кролів. Після цього в клітці залишиться 15 – 6 = 9 (фазанів). Відповідь: В клітці було 9 фазанів і 6 кролів.

Можна розв’язати цю задачу, почавши з іншого боку. Якби в клітці було 15 кролів, то чоловік нарахував би 15 • 4 = 60 (лап). Це на 60 – 42 = 18 (лап) більше, ніж насправді. Отже, треба замінити 18 : 2 = 9 кролів на 9 фазанів (ділимо на 2, бо кожна заміна кроля на фазана зменшує кількість лап на дві). Після такої заміни в клітці залишиться 15 – 9 = 6 кролів.

25. Закупили 138 м чорної і синьої тканини на 540 грн. Скільки метрів закупили однієї і скільки іншої тканини, якщо один метр синьої коштував 5 грн., один метр чорної – 3 грн.?
1) 138•5=690 (грн.) коштують 138 м синьої тканини;
2) 690-540=150 (грн.) – на стільки гривень треба зменшити вартість покупки;
3) 5-3=2 (грн.) - на стільки зменшується вартість тканини, якщо 1 м синьої замінити на 1 м чорної;
4) 150:2=75 (м) синьої тканини треба замінити на 75 м чорної;
5) 138-75=63 (м) синьої тканини.
Відповідь: 75 м чорної і 63 м синьої тканини.

26. У стоквартирному будинку є тільки три- і двокімнатні квартири. Площа трикімнатної квартири 80 м², а двокімнатної – 50 м². Скільки квартир кожного виду в будинку, якщо їх загальна площа 6890 м²?

1) 80•100=8000 (м²) площа сотні трикімнатних квартир;

2) 8000-6890=1110 (м²) – на стільки загальна площа менша від площі 100 трикімнатних квартир;

3) 80-50=30 (м²) – на стільки площа трикімнатної більша від площі двокімнатної квартири;

4) 1110:30=37 (квартир) – стільки трикімнатних квартир треба замінити на двокімнатні, щоб загальна площа дорівнювала 6890 м²;

5) 100-37=63 (квартири).

Відповідь: 63 трикімнатні й 37 двокімнатних квартир.

27. Для туристів закуплено 100 білетів на поїзд на загальну суму 340 грн. Білети вартістю по 3 грн. і по 4 грн. Скільки закуплено білетів по 3 грн. і скільки по 4 грн.?

1)100•4=400 (грн.) коштують 100 квитків по 4 грн.;

2) 400-340=60 (грн.) – на стільки треба зменшити вартість покупки;

3) 4-3=1 (грн.) заміна дорожчого квитка на дешевший зменшує всю суму на 1 грн., не змінюючи кількості білетів;

4) 60:1=60 (квитків) по 4 грн. треба замінити на квитки по 3 грн.;

5) 100-60=40 (квитків) по 4 грн..

Відповідь: 60 квитків по 3 грн. і 40 квитків по 4 грн..

28. В установі стоїть 14 канцелярських столів з одною, двома і трьома шухлядами. Всього в столах 25 шухляд. Столів з одною шухлядою стільки, скільки столів з двома і трьома шухлядами разом. Скільки столів з трьома шухлядами?

1) 14:2=7 (столів) з одною шухлядою;

2) 25-7=18 (шухляд) у семи столів з двома й трьома шухлядами;

3) 7•2=14 (шухляд) у семи столів з двома шухлядами;

4) 18-14=4 (столи).

Відповідь: 4 столи з трьома шухлядами.

29. Знайти суму чисел від 1 до 100, тобто 1+2+3+…+97+98+99+100=?

1+2+3+… +50+51+… +98+99+100= (1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101•50=5050

Другий спосіб: 1+2+3+…+49+50+51+…+97+98+99+100=((1+99)+(2+98)+(3+97))•50+50=5050

30. Скільки є різних п’ятицифрових чисел, у кожноии ти му з яких сума цифр дорівнює 3?

Якщо сума цифр п’ятизначного числа дорівнює 3,то воно може бути записане за допомогою цифр 3,0,0,0,0 або цифр 1,1,1,0,0. Оскільки запис числа не може починатися цифрою 0, то для першого випадку матимемо одне п’ятицифрове число 30 000, а у другому випадку - шість чисел 10 011,10 101,10 110,11 001,11 010,11 100. Усіх чисел сім.

31. Дано ряд чисел 11,12,15,20,27 . Знайти закономірність і продовжити цей ряд до 8 чисел.

Знайдемо різниці сусідніх чисел ряду:

12 – 11 =1; 15 – 12=3; 20 – 15=5; 27 – 20=7. Закономірно,що наступні різниці будуть такі: 9,11,13,15. Тому наступними числами ряду є: 27+9=36; 36+11=47; 47+13=60.

32. Усі натуральні числа від 1 до 40 записані підряд. Скільки разів трапляється в цьому записі чифра1 ?

Від 1 – до 9 цифра 1 зустрічається 1 раз; від 10 – до 19 – 11 раз;від 20 – до 30 1 раз; від 30 – до 40 – 1раз.

Відповідь: 14раз.

33. Розділи 404 гривні на дві частини так, щоб більша частина, виражена в гривнях, дорівнювала меншій частині вираженій в копійках назви ці частини.

Відповідь: 400 гривень і 400 копійок.

34. На скільки однакових частин треба розрізати пиріг, щоб ти міг роздати його порівну своїм друзям,якщо тобі заздалегідь не відомо, скільки їх буде – троє , четверо чи шестеро?

На 12 частин.

35. Хлопчик вудив рибу. На запитання «Скільки риби ти зловив?» він відповів: Половину восьми , шість без голови, дев‘ять без хвоста» Скільки риби зловив хлопчик?

Ніскільки 0.

36. Для нумерації сторінок підручника використали 312 цифр. Скільки сторінок у цьому підручнику? Скільки цифр потрібно для нумерації книжки , яка містить 120 сторінок?

Одноцифрових чисел 9, двоцифрових 90, а 90•2=180 – потрібно цифр для запису двоцифрових чисел, решта ( 312 – 9+180):3 =41 трицифрові, отже в книзі 9+41+90=140 сторінок. Для нумерації книжки,що містить 120 сторінок потрібно 9+90•2+21•3=252 цифри.

37. Скільки днів у році , якщо один з місяців розпочався і закінчився у четвер?

366, рік високосний

38. Восьмизначне число записане двома одиницями, двома двійками, двома трійками і двома четвірками. Між одиницями стоїть одна цифра, між двійками – дві, між трійками – три, між четвіркам – чотири . Знайти це число.

41 312 432,23 421314.

39. Ніна , Катя, Оля живуть в одному під’їзді. Ніна, яка живе на четвертому поверсі , піднімається на 70 східців, а Катя яка живе на першому поверсі – піднімається на 10 східців. На скільки східців піднімається Оля, яка живе на третьому поверсі?

На п’ятдесят східців.

40. Сума двох чисел дорівнює 495. Одне з них закінчується нулем. Якщо цей нуль закреслити, то вийде інше число. Знайти ці числа.

Якщо сума двох чисел дорівнює 495,а одне з них закінчується нулем, то друге закінчуватиметься п’ятіркою ,а це значить , що друга цифра другого числа є 4, бо 4+5=9(друга цифра суми, тоді перша цифра першого числа 4.

450+45=495.

41. Зустрілися 5 чоловік і один одному потисли руки. Скільки відбулося руко потискань ?

Кожна людина потисне руку 4 іншим. Отже,всіх руко потискань буде 5•4=20, а так як в кожному руко потисканні бере участь дві людини,а руко потискання одне то 20:2=10- всього руко потискань.

42. Як за допомогою косинця, у якого один кут прямий, а інший дорівнює 13 градусів . Побудувати кут в 1 градус ?

Будуємо кут 90 , 6 разів відкладаю кут по13 , 6•13=78 , лишиться 12 , а з другої сторони відкладу кут 13 , різниця буде 1 . Або побудую кут 90 , а потім сім раз відкладу кут в 13 , отримаю шуканий кут.

43. У скільки разів збільшиться трьохзначне число, якщо до нього (справа або зліва) дописати таке ж число?

Збільшиться в 1001 раз.

44. Чи може в деякому місяці бути п’ять неділь?

Для того, щоб у місяці було п’ять неділь, його початок повинен припадати на неділю, (якщо в місяці 28 днів), або на суботу чи неділю, (якщо в місяці 29 днів), або на п’ятницю, суботу чи неділю (якщо в місяці 31 день).

45. Якось перший вівторок місяця я провів у Києві, а перший вівторок після першого понеділка – у Львові. У наступному місяці я перший вівторок провів у Одесі, а перший вівторок після першого понеділка – у Миколаєві. Якого числа і якого місяця я був у всіх цих містах?

1 лютого – у Києві, 8 лютого – у Львові, 1 березня – в Одесі, 8 березня – у Миколаєві.

46. Чи правильно, що 29 лютого 1900 року була п’ятниця?

Високосним роком є кожен рік ,число якого ділиться на чотири, крім років , які закінчуються двома нулями, але не діляться на 400. Тому 1900 рік не був високосним, а це означає , що в лютому 1900 року було 28 днів.

47. Годинник за кожну добу спішить на 3 хвилини. Зараз він показує точний час. Через який час його стрілки знову показуватимуть точний час?

Годинник покаже точний час,коли піде вперед на 12 годин. Це трапиться через12•60:3=240 діб.

Годинник показує першу годину дня. Знайдіть найближчий момент часу, коли годинна та хвилинна стрілки збігатимуться. За 60 хвилин годинна стрілка проходить кола, а хвилинна – повне коло. Тобто за хвилину кут між годинною та хвилинною стрілкою зменшується на частину повного кола. О першій годині дня кут між стрілкою складає частину кола, тому стрілки збігатимуться вперше після 13.00 через хвилини. Тобто майже о 13:00:27.

48. Хлопчик написав на аркуші паперу число 86 і запропонував товаришеві: « Не виконуючи ніяких записів,збільшити це число на 12 і покажи мені відповідь» Товариш миттю виконав завдання . А як це в нього вийшло?

Треба повернути аркуш паперу на 180 . Тоді матимемо число 98.

49. Як можна написати 100 за допомогою дев’яти цифр від 1 до 9, застосовуючи лише дії додавання та віднімання.

100 = 123+4-5+67-89; 100 =12+3-4+5+67+8+9; 100 =123-45-67+89

Як число1888 поділити на дві частини , щоб в кожній половині вийшло по 1000.

Провести по середині горизонтальну риску.

50. Фігури 1, 2, 3, 4, 5 – квадрати. Периметр квадрата 1 дорівнює 12 см. Знайдіть периметр квадрата 5.

1	1	3	5
2
4

Відповідь: 96 см.

Розв’язання: Якщо периметр квадрата 1 дорівнює 12 см, то його сторона – 3 см (12 см : 4). Тоді сторона квадрата 2 – 6 см (3 см + 3 см), а сторона квдрата 3 – 9 см (6 см + 3 см). Сторона квадрата 4 – 15 см (9 см + 6 см). Тоді сторона квадрата 5 – 24 см (15 см + 9 см). Периметр квадрата 5 дорівнює 96 см

(24 см ∙ 4).

51. Кілька кружечків однакового розміру розклали і вигляді квадрата. При цьому п’ять кружечків виявилися зайвими. Якщо кожну сторону квадрата збільшити на один кружечок, то не вистачить 8 кружечків. Скільки було кружечків?

Розв’язання. При збільшенні кожної сторони квадрата на один кружечок, їх кількість збільшиться на 5 + 8 = 13. Це кількість кружечків у двох сторонах квадрата, причому кутовий кружечок врахований двічі. Тому сторона меншого квадрата дорівнює (13 – 1) : 2 = 6 (кружечків). Тоді менший квадрат складається з 6 • 6 = 36 (кружечків). Оскільки при складанні 5 кружечків були зайвими, то всього було 36+5=41 (кружечок).

52. Вася склав куб з 27 кубиків, а потім пофарбував його поверхню в синій колір. Потім Петро забрав всі кубики, у яких були пофарбовані хоча б дві грані. Скільки кубиків взяв собі Петро?

Відповідь: 20.

Розв’язання. З 27 кубиків виходить куб 3 × 3 × 3. Вуглові кубики пофарбовані з трьох сторін (їх 8 штук), кубики, які знаходяться на ребрах, але не в вершинах, пофарбовані з двох сторін (їх 12 штук - по одному на кожному ребрі). Решта кубики пофарбовані з одного боку (знаходяться всередині межі) або не пофарбовані зовсім (центральний кубик). Отже, Петро взяв 8 +12 = 20 кубиків.

53. Петро і Вася розрізали два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з периметром 40 см кожен, а у Васі - два прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр мали початкові прямокутники?

Відповідь: 60 см.

Розв’язання. Якщо сторони вихідного прямокутника a і b, то у Петра вийшли периметри, рівні 2a+ b = 40, а у Васі - рівні a +2b = 50. Тоді 3a +3b = 40+ 50 = =90. Звідки 2a+ 2b = 60 - периметри вихідних прямокутників.

54. На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку?

Відповідь: 2, 3, 5, 9, 17, 33 точок.

Розв’язання. Зауважимо, що коли на прямий відмічено k точок, то проміжків між ними буде k - 1, і якщо у кожний такий проміжок поставити по точці, то всього точок стане

k + (k - 1) = 2k - 1. Тому якщо точок стало 2k - 1 = 65, то перед останньою операцією їх було k = 33. Аналогічно знаходимо, що до цього їх було 17, потім - 9, 5, 3 і 2. Процес міг починатися з будь-якого з етапів.

55. На острові, населення якого становлять тільки лицарі, що говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть, знаходиться науково-дослідний інститут (НДІ). Кожний із його співробітників зробив одного разу дві заяви: а) в інституті немає і десятка людей, що працюють більше від мене; б) принаймні сто осіб в інституті отримують зарплату більшу, ніж моя. Відомо, що навантаження у всіх працівників різне, як і зарплата. Скільки людей працює в НДІ?

Відповідь: 110 осіб.

Розв’язання. Розглянемо співробітника, який працює більше всіх інших. Тоді першою заяві він не збрехав, тобто він - лицар. Але тоді і друга його заява - правда, отже, знайдуться 100 чоловік в інституті, які отримують більше нього. Бачимо, що з одного боку перші 10 співробітників, які працюють більше, ніж інші - лицарі, а решта - брехуни. З іншого боку, 100 співробітників, які отримують більше за інших - брехуни, а решта - лицарі. Тому всього лицарів і брехунів 110.

56. Відновіть ребус КОКА + КОЛА = ВОДА (однаковим буквам відповідають однакові цифри, різним буквам – різні цифри).

Відповідь: 3930 + 3980 = 7910.

Розв’язання. Очевидно, що А = 0. Тоді О ≠ 0, отже, О = 9. Тоді К + К +1 = В. Можливі варіанти: 1) К = 1, В = 3, 2) К = 2, В = 5, 3) К =3, В = 7. К+ Л = 10+ Д (1 переходить в наступний розряд). Перший варіант не підходить, тому що інакше Л = 9, тоді Л співпадає з О. Другий варіант не підходить, оскільки інакше Л = 8 (тоді Д = 0 та А = 0) або Л = 9 (тоді Л збігається з О). У третьому випадку Л = 7, Л = 8, Л = 9. Якщо Л = 7, то Д = 0 і А = 0. Якщо Л = 9, то Л збігається з О. Отже, Л = 8, Д = 1.

57. Усі трицифрові числа записані в рядок: 100101102…998999. Скільки разів у цьому ряду після двійки йде нуль?

Розв’язання. Оскільки трицифрове число не може починатись з нуля, двійка, після якої йде нуль, не може стояти в розряді одиниць одного з трицифрових чисел ряду. Нехай така цифра стоїть у розряді десятків трицифрового числа. Тоді нуль, що йде за нею, стоїть у розряді одиниць того ж числа, тобто це число закінчується на 20. Таких чисел 9: 120, 220, …, 920. Нарешті якщо двійка, після якої йде нуль, стоїть у розряді сотень, то відповідне трицифрове число починається на 20. Таких чисел 10: 200, 201, …, 209.

58. Чи може сума трьох послідовних чисел бути простим числом?

Ні , бо (а-1) + а + (а+1)=3а

59. Чи ділиться число 3 528 041 на 11?

Якщо сума цифр заданого числа через одну дорівнює сумі решти цифр через одну або різниця цих сум ділиться на11, то й задане число ділиться на 11.

А коли зазначені суми цифр через одну не дорівнюють одна одній і їх різниця не ділиться на11, то й задане число не ділиться на11.

3+2+0+1=6, 5+8+4=17,17-6=11.

Оскільки різниця ділиться на 11 то й саме число буде ділитись на 11.

60. Іван витрачає 1/3 частину свого часу на заняття в школі, 1/4 – на гру в футбол, 1/5 – на прослуховування музики , 1/6 на перегляд телевізійних передач, 1/7 на розв’язування задач з математики. Чи можна так жити?

Якщо Іван поєднує виконання деяких справ, то можна, а якщо все виконувати по черзі то ні.

61. Фантастичний роман починається словами : «Чергове століття настало в неділю» Укажіть помилку в цій фразі.

Григоріанський календар , яким ми користуємось має період 400 років. Кожен четвертий рік – високосний , при цьому роки, що діляться на 100 і не діляться на 400, не є високосними. Весь цикл містить 20 871 тиждень. Першим днем століття може бути або вівторок ( 1 січня 1901 року), або понеділок ( 1 січня2101), або четвер (1 січня 2201). Далі все повторюється.

62. У понеділок , вівторок, середу повинні чергувати в класі Ваня, Олег, і Сашко. Але хлопці висловили свої бажання: .

- Мене не призначайте на середу, бо я цього дня відвідую музичну школу, - сказав Ваня.

- у вівторок я йду на тренування до спортивної школи, - сказав Олег.

- А мене призначте на вівторок,- попросив Сашко. Усі побажання друзів було виконані. Як чергували хлопці?

	понеділок	вівторок	середа
Ваня	+	-	-
Олег	-	-	+
Сашко	-	+	_

63. У школі 740 учнів. Довести, що при наймі троє з них в один і той самий день святкують свій день народження.

Якби щодня двоє учнів святкували свій день народження, то в школі було б 732 учні.

64. Довести, що серед 101 цілого числа можна вибрати два, різниця яких ділиться на 100.

При діленні числа на 100 може бути 100 остач : 0,1,2,..99. Серед 101 остачі, які ми дістаємо від ділення даних в умові 101 числа на 100, принаймні дві однакові. Різниця цих двох чисел і ділиться на 100.

65. Скільки існує цілих додатних чисел, менших від 100 , які:

- діляться на 2 і 3;

- діляться на 2 але не діляться на 3;

- діляться на 3 , але не діляться на 2;

- діляться на 3 або на 2;

- не діляться ні на 2 ні на 3.

Числа які одночасно діляться на 2 і на 3 , діляться на 6. Серед перших 99 додатних чисел є лише 16, кратних 6, оскільки 6•16 + 3 = 99. Отже, чисел , які одночасно діляться на 2 і на 3, буде 16. Щоб знайти числа, які діляться на 2, визначимо кількість парних чисел, більших від 1 і менших від 99. Таких чисел буде 49, бо 49•2+1= 99. Але серед цих парних чисел є й такі, які діляться на 3. Вище ми підрахували,що їх 16. Тому чисел,які діляться на 2, але не діляться на 3, буде 49- 16 =33.

Чисел, які діляться на 3, буде33. Оскільки33-16=17, то цілих додатних чисел, менших від 100, які діляться на3, але не діляться на 2буде 17.

Чисел,що діляться на 3 або на 2, буде 49+33-16=66, якщо від 99 відняти попередній результат: 99-66=33, то дістанемо ті числа першої сотні, які не діляться ні на 2 ні на 3.

Відповідь :16, 33,17,33.

66. Скільки існує натуральних трицифрових чисел, перша цифра яких більша від двох інших, а друга – менша від третьої?

Таке число дістанемо з кожного трицифрового числа, цифри якого йдуть у спадному порядку, якщо в ньому переставити місцями другу і третю цифри. Таких чисел буде 120.

67. Чи можна організувати такий турнір , щоб у ньому брало участь 40 команд і кожна команда зіграла рівно три матчі?

(40•3):2=60 матчі

68. Чи є число - кратним до числа 10?

Ні , бо різниця цих двох чисел закінчується цифрою 9.

69. Чи можна подати число 91 у вигляді суми кількох натуральних чисел, добуток яких дорівнює 91

Можна взяти числа13 і 7 та сімдесят одну одиницю. І їх добуток, і їх сума дорівнюватиме 91.

70. Позавчора Дмитру було ще тільки 10 років, а наступного року йому виповнилось 13. Як це може бути?

Дмитро народився 31 грудня 2003 року. А сьогодні 1 січня 2005р.

71. У коробці з олівцями є олівці різної довжини і різного кольору. Доведіть, що є два олівці, які відрізняються і за кольором , і за довжиною.

Розв’язання. Візьмемо по одному олівцю кожного кольору. Позначимо цю множину через А. Якщо в цій множині є олівці різної довжини, то задача розв’язана. Розглянемо випадок, коли в множині А всі олівці однієї довжини. В цьому випадку серед олівців, що не входять у множину А, є олівець з іншою довжиною. Тоді цей олівець і будь-який олівець з множини А , що має інший колір, відрізняється і за кольором , і за довжиною.

72. У трьох урнах лежать кулі : у першій – дві білі, у другій – дві чорні, у третій – біла і чорна. На урнах висять таблички : ББ, ЧЧ, БЧ, але вміст кожної з урн не відповідає табличці. Як діставши тільки одну кулю, визначити, в якій урні що лежить ?

Розв’язання. Треба дістати одну кулю з урни з табличкою БЧ . Оскільки табличка не відповідає вмісту урни, то в цій урні або знаходяться дві кулі ЧЧ, або дві кулі ББ. Отже, якщо дістали білу кулю, то під табличкою БЧ маємо дві білі кулі, якщо дістали чорну кулю, то під табличкою БЧ маємо дві чорні кулі. В першому випадку під табличкою ЧЧ не можуть знаходитись дві білі кулі, отже, там знаходяться біла і чорна, тому під табличкою ББ знаходяться дві чорні кулі. Аналогічно, у другому випадку під табличкою ББ знаходяться біла і чорна, а під табличкою ЧЧ – дві білі.

73. Тетянка сказала : «В Андрійка більше 100 книг». Данилко заперечив : «Ні, менше». Марійка сказала : «Ну, хоча б одна книга у нього, напевне , є». Скільки книг може бути в Андрійка, якщо з цих трьох тверджень рівно одне істинне?

Розв’язання. Можливі три випадки : правду сказала або Тетянка, або Данилко, або Марійка. Якщо правду сказала Тетянка, то Марійка теж сказала правду, що суперечить умові. Отже , цей випадок неможливий. Якщо правду сказала Марійка, то Тетянка і Данилко, за умовою, повинні сказати неправду. Це неможливо, якщо в Андрійка рівно 100 книг. Якщо правду сказав Данилко, то твердження Тетянки неправильне, а твердження Марійки теж повинно бути неправильним. Це можливо, якщо в Андрійка книг немає. Відповідь. 0 або 100.

74. Червона Шапочка показала трьом поросятам п’ять беретиків – три червоних і два білих, зав’язала їм очі і одягла на кожного по беретику. Після цього вона розв’язала Ніф-Ніфу очі і спитала його, якого кольору в нього беретик. Ніф-Ніф не зміг відповісти. Потім вона розв’язала очі Наф-Нафу і задала йому теж саме запитання. Наф-Наф також не зміг відповісти. Нарешті, Нуф-Нуф заявив : «Можете не знімати з мене пов’язку, я і так знаю, якого кольору мій беретик». Якого кольору беретик Нуф-Нуфа ?

Розв’язання. Нуф-Нуф розмірковував так:

- Якби на мені та Наф-Нафі були білі беретики, то Ніф-Ніф знав би, що на ньому червоний, оскільки білих беретиків всього два.

- За реакцією Ніф-Ніфа , Наф-Наф зрозумів, що або на ньому, або на мені, або на нас обох – червоні беретики.

- Наф-Наф бачить колір мого беретика, але все одно не знає, який беретик на ньому.

- Якби на мені був білий беретик, то Наф-Наф зрозумів би, що на ньому - червоний.

- Значить, на мені – червоний беретик.

75. Чи можна викласти у ланцюжок, за правилами гри, всі 28 кісточок доміно так, щоб : а) на одному кінці була шестірка, а на другому п’ятірка?

б) на обох кінцях була шестірка?

Розв’язання. Якщо на одному кінці ланцюжка, в якому лежать всі 28 кісточок доміно, шестірка, то і на другому кінці – теж шестірка. Справді, всього кісточок з шестіркою є 7, якщо дубль лежить всередині ланцюжка, то до нього прилягають дві кісточки з шестіркою, а останні шестірки, які не лежать з краю, зустрічаються обов’язково парами. Отже, з краю знаходяться або дві шестірки, або жодної. Якщо ж шестірка дубль лежить на кінці ланцюжка, то перед нею теж шестірка, а решта 5 кісточок з шестірками, що лежать не з краю ланцюжка, зустрічаються лише парами , отже, залишається лише одна кісточка з шестіркою, яка лежить на другому кінці ланцюжка, і тому в цьому випадку на обох кінцях – шестірки.

Відповідь: а) не можна; б) можна.

76. Чи можна розставити по колу 20 червоних і декілька синіх фішок так, щоб в кожній точці, діаметрально протилежній червоній фішці, стояла синя і ніякі дві сині фішки не стояли поряд ?

Розв’язання. За умовою червоні і сині фішки повинні чергуватися (по колу), отже, всього їх 40. На півколі між червоною і протилежною їй синьою фішкою стоять 19 фішок , отже, крайні з цих 19 фішок – однокольорові, а вони повинні бути різнокольоровими, як сусідні – одна – з червоною, друга – з синьою. Тому, розстановка фішок, про яку йдеться в умові задачі, не можлива.

77. Кореспондентові пощастило дізнатися, що до складу команди космічного корабля призначено Петренка, Іваненка і Тарасова. Поміркувавши, він записав у своєму блокноті припущення, що командиром корабля буде Тарасов , Петренко – фізиком, а Іваненко – радистом, оскільки він не може бути командиром корабля. В прес-бюро кореспондентові сказали, що лише одне з цих чотирьох припущень правильне. Які обов’язки виконував Іваненко, Петренко і Тарасов ?

Розв’язання. Якщо вважати правильним перше припущення, то воно суперечить третьому. Третє припущення також не може бути правильним, оскільки в ньому висловлюється дві гіпотези. Тому можливий лише такий розподіл обов’язків : Іваненко – командир, Петренко – фізик, Тарасов – радист. Це показує, що друге припущення правильне.

78. Три подруги одягли плаття різного кольору : одна – голубе, друга – біле, третя – зелене. Їх взуття було таких самих кольорів, як і плаття. Відомо, що лише в Олі збігався колір взуття і плаття. Наталка була в зелених босоніжках. Плаття і взуття Валі не були білими. Хто і як був одягнений?
Розв’язання. Очевидно, що колір взуття Валі голубий. Тому Оля мала біле плаття і білі босоніжки. Наталка одягла голубе плаття, а Валя – зелене.

79. Один з трьох братів забруднив чорнилом скатертину. На запитання «Хто це зробив ?» Олекса відповів: «Віктор не забруднював скатертину, це зробив Борис».Віктор, навпаки, заперечив, що цього Борис не міг зробити, а сам він ще не сідав до столу. Борис твердив, що Олекса не забруднив скатертину, бо це зробив Віктор. З’ясувалося, що два брати обидва разом сказали правду, а один брат дав дві неправдиві відповіді. Хто забруднив скатертину?

Розв’язання. Відповіді Олекси і Бориса суперечать одна одній і не можуть бути одночасно правдивими. Це саме можна сказати про відповіді Віктора та Олекси. Тому неправду сказав Олекса. Отже, скатертину забруднив Віктор.

80. Хтось із п’яти братів розбив вікно. На запитання батька вони відповіли :

Андрій : Це зробив або Віктор, або Борис.

Віктор : Це зробив не я і не Юрко.

Борис : Ви обидва говорите неправду.

Дмитро : Тільки один з братів сказав правду.

Юрко : Ні, Дмитре, ти сам говориш неправду.

Батько переконаний, що принаймні три брати сказали правду. Хто розбив вікно?

Розв’язання. З Борисової відповіді, яка суперечить сказаному раніше Віктором та Андрієм , випливає, що він говорить неправду . Тому твердження Андрія і Віктора правдиві. Отже, вікно розбив Борис.

81. Учитель перевірив роботи трьох учнів – Олексієнка, Василенка та Сергієнка , але не приніс їх до класу. Учням він сказав : «Один з вас одержав -3, другий – 4, а третій – 5. У Сергієнка – не п’ятірка, у Василенка – не четвірка, в Олексієнка, мені здається, четвірка». Коли принесли зошити, то з’ясувалося, що вчитель тільки одному учневі сказав правильну оцінку, а двом іншим – неправильні. Які оцінки одержали учні?

Розв’язання. Можливі шість варіантів розподілу оцінок : ОВС, ОСВ, ВОС, ВСО, СОВ, СВО. Кожний запис означає, що п’ятірку одержав перший записаний учень, четвірку – другий, трійку – третій. З цих записів лише перший відповідає умові задачі : у твердженнях учителя одна оцінка правильна, а дві неправильні. Тому Олексієнко одержав п’ятірку, Василенко – четвірку, Сергієнко – трійку.

82. Кожний з трьох друзів зіграв однакову кількість шахових партій з іншими. При цьому з’ясувалося, що перший з них виграв найбільшу кількість партій, другий програв найменшу кількість партій , а третій дістав найбільшу кількість очок. Чи могло так бути ? Якщо ні, доведіть, якщо так, наведіть приклад.

Розв’язання. Таке могло трапитися. Нехай кожних двоє зіграли між собою по 10 партій. При цьому перший виграв у другого 3 партії, а другий виграв у нього стільки ж. У третього перший виграв 4 партії, але програв йому 5 партій. Усі інші партії закінчилися внічию. Тоді перший, який виграв 7 партій, програв 8 і 5 закінчив внічию, матиме 9,5 очок, другий, який виграв 3 партії і програв 3 партії, а в14 партіях набрав по 0,5 очок, матиме 10 очок. Третій набере 11,5 очок, бо в нього 5 виграшів, 4 програші і 11 внічию.

83. Серед шести офіцерів, прізвища яких починаються буквами А,Б,В,Г,Д,К, три полковники, два майори і один капітан. Відомо, що А першим вітає Б; Г і Д мають однакові звання; В і К служать в одному полку. Полковник, майор і Г – танкісти, Б і капітан – артилеристи. Один з офіцерів – зв’язківець. Яке він має звання ? Яка перша буква його прізвища?

Розв’язання. В умові підкреслено, що Б і капітан артилеристи, тому В і К мають бути танкістами. Один з них полковник, а другий майор. Оскільки Г і Д мають однакові звання, то капітаном може бути лише А. Тоді Д – зв’язківець . Він має з Г однакові звання. Майорами вони не можуть бути, бо тоді майорами були б Д, Г і ще один танкіст. Отже, Д- полковник.

84. Три розбійники хочуть поділити різну здобич. Кожен з них переконаний, що він поділив би здобич на рівні частини, але інші йому не довіряють. Якби розбійників було два, то вийти з положення було б легше : один розділив би здобич на дві частини, а другий узяв би ту частину, яка йому здалась більшою. Як повинні діяти три розбійники, щоб кожен був упевнений, що його здобич становить не менше третини всієї здобичі?

Розв’язання. Нехай один з розбійників поділить здобич на три з його погляду ріні частини. Якщо при цьому інші розбійники виберуть собі по одній з розділених частин, то третя залишиться для того розбійника, який ділив здобич. Якщо обидва захочуть узяти одну з третин, то вони ділять її на дві частини між собою описаним в умові задачі способом. Якщо після цього вони виберуть разом ще одну частину, то ділять і її так само. Якщо обидва розбійники, які одержали половину своєї частини здобичі, вказують на різні частини, то кожний з них ділить ці частини з розбійником, який здійснював перший поділ.

85. Шість шахістів А,Б,В,Г,Д,Є зіграли в турнірі кожний з кожним по одній партії. А звів усі партії внічию, Б не програв жодної партії, В виграв у переможця турніру і зіграв унічию з Д; Г випередив Д, але відстав від Є. Хто скільки очок набрав і яке місце зайняв?Розв’язання. Переможець програв партію В. Отже, переміг у турнірі не В. Не були переможцями також А,Г,Б,Д. таким чином, переміг Є. Він програв В, зіграв унічию з А і Б, виграв у Г і Д. Оскільки Б не програв жодної партії і не посів першого місця, то він набрав менше очок, ніж переможець, тобто набрав не більше 2,5 очка. Отже, Б усі партії звів унічию. В програв Г ( інакше він набрав би очок стільки, скільки Є). Г і Д зіграли внічию. Якби Г переміг, він набрав би 3 очка ( як Є), якби програв, то відстав би від Д. Отже, Є-3, А,Б,В,Г – по 2,5, Д – 2 очка.

86. Футбольні команди шкіл міста беруть участь у розиграші кубка. Про учасників фіналу було висловлено 5 тверджень: №1 і 4; №3 і 5; №2 і 3; №2 і 4; №4 і 5. Одне твердження виявилось зовсім неправильним, в інших правильно названо одну з команд – фіналісток. Які ж дві команди вийшли у фінал?

Розв’язання. Складемо таблицю, щоб відшукати, яке припущення було хибним. Під кожним припущенням написано, яка частина прогнозу могла бути правильною.

1-4	3-5	2-3	2-4	4-5
-	5	2	2	5
1	-	2	2	?
4	?	-	4	4
1	?	3	-	5
1	?	2	2	-

Знак запитання показує, що або жодна з названих шкіл не може потрапити у фінал, або вгадано не одну . а обидві школи. З таблиці видно, що умові відповідає лише перший варіант.

У фіналі зустрілися школи №2 і № 5.

87. По колу вписали 2003 натуральних числа. Доведіть, що знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною.

Відповідь: З 2003 натуральних чисел принаймні 1002 числа є числами однакової парності (парні або ж не парні). Іншими словами: оскільки 2003 є непарним числом, то чисел однієї парності більше, ніж чисел іншої парності щонайменше як на 1. Припустимо, що серед 2003 наведених чисел, наприклад, парних більше ніж непарних. Тоді, як зазначено вище, парних чисел принаймні 1002. Зафіксуємо на колі які-небудь 1002 парних чисел з усіх парних чисел. Якщо припустити, що на колі не знайдеться два сусідніх числа, сума яких є парною, то це означатиме що числа, розташовані по колу, чергуються наступним чином – парне, непарне, парне, непарне і т.д.. Але ж тоді на колі повинно бути щонайменше 2004 числа. Отже, прийшли до протиріччя з умовою, бо по колу розташовано точно 2003 натуральні числа.

88. Є 10 спортсменів різного зросту, а також інші 10 спортсменів різної ваги. Яку найбільшу за кількістю групу спортсменів гарантовано можна вибрати з цих 20 спортсменів таким чином, щоб у цій групі усі спортсмени мали водночас різну вагу та зріст?

Відповідь: 2.

Розв’язання. Спочатку покажемо, що 3-х вибрати не завжди можна. Виберемо 10 спортсменів однакового зросту та різної ваги, а також інших 10 однакової ваги та різного зросту. Зрозуміло, що така сукупність з 20 спортсменів умови задачі задовольняє – там є 10 різного зросту та 10 різної ваги.

Розглянемо будь-якого спортсмена А. Якщо не існує йому у пару відмінного росту та ваги (це дійсно можливо, якщо 10 мають, наприклад, з ним однакову вагу, та інші 9 однаковий зріст). Тоді беремо таку пару – будь-якого з ним рівної ваги, та іншого – рівного зросту. У них різний зріст, бо у одного співпадає з А, а у іншого ну, та різна вага – так само у одного співпадає з А, у іншого – ні.

89. Розрізати фігуру, що зображена на рисунку, на чотири однакові частини:

90. Чи можна у кожну клітинку квадрата 5×5 записати ціле число так, щоб у будь-якому меншому квадраті, що складається більше, ніж з однієї клітинки, сума чисел була непарною?

Відповідь. Не можна.

Вказівка. Припустимо, що нам вдалось записати числа так, як говориться в умові. Візьмемо квадрат 4×4 і розділимо його на чотири квадрати 2×2. Сума чисел в кожному з цих квадратів 2×2 є непарною. Але тоді сума чисел в квадраті 4×4 є парною, що суперечить умові.

91. Було 4 аркуші паперу. Деякі з них розрізали на 4 частини; потім деякі з четвертинок знову розрізали на 4 частини і т.д. Коли підрахували загальне число аркушів, то виявилося, що їх всього 1962. Чи правильним був підрахунок ?

Розв’язання. Очевидно, після розрізання одного аркуша паперу на 4 частини загальна кількість аркушів збільшиться на 3. Отже, якщо таку операцію провести n разів, то після цього ми матимемо 4+3n аркушів. Якщо вважати, що підрахунок був виконаний правильно, то 4+3n=1962 Звідси 3n=1958. Але 1958 не ділиться на 3. Тому підрахунок був виконаний неправильно.

92. Пірати продають торговцю 10 мішків з монетами, але йому відомо, що в одному мішку монети фальшиві, кожна легше на 1 г, ніж звичайна. Торговцю відома маса однієї справжньої монети. Як за допомогою одного зважування на терезах із гирями можна визначити мішок, у якому фальшиві монети?

Вказівки до розв’язання

Треба занумерувати мішки від 1 до 10, та з кожного взяти кількість монет, що відповідає номеру. За допомогою одного зважування торговець визначить номер мішка, де фальшиві монети: загальна маса буде меншою на відповідну кількість монет.

Наприклад, якщо у 5 мішку будуть фальшиві, то маса буду меншою на 5 г.

93. Кількість книг у Петра більше за 150, але менше ніж 200. З них – 20% детективи, а 1/7 збірки віршів. Скільки книг у Петра?

Оскільки 20% становить 1/5усіх книг, то загальна кількість книжок повинна ділитися без остачі на 5, як і на 7. Тобто загальна кількість повинна ділитися без остачі на 35. Заданим умовам задовольняє лише число 175

Відповідь: 175

94. У ящику лежать 100 кульок: 30 червоних, 30 синіх, 30 зелених, решта – білі та чорні. Яку найменшу кількість кульок треба вийняти, щоб напевно дістати 20 кульок якого-небудь кольору?

Перефразуємо задачу так: «Яку найбільшу кількість кульок можна вийняти так, щоб при цьому не можна було б дістати 20 кульок одного кольору». Зрозуміло, що серед 19+19+19+10=67 кульок може не бути 20 кульок одного кольору, зате серед 68 кульок 20 будуть обов’язково.

Отже потрібно взяти 68 кульок

Відповідь: 68

95. У Петра та Василька по 55 важків від 1г до 55 г. Вони по черзі докладають свої важки на свою шальку шалькових терезів. Першим ходить Вася. Петро виграє, якщо різниця мас важків на шальках терезів стане 50г. Чи може виграти Петро?

Відповідь: так

Наприклад Петро відкладає свій важок у 50г і ходить гирями як завгодно. Наприкінці гри Вася викладе усі свої гирі, а Петро усі, крім 50г, отже маса на його шальці у цей момент буде меншою на 50 г.

96. Було 5 аркушів паперу. Деякі з них розрізали на 5 кусків кожний. Потім деякі з одержаних кусків знову розрізали на 5 кусків і так зробили декілька разів. Чи можна в результаті виконання таких дій отримати 1975 кусків паперу?
Розв’язання. Після розрізання одного куска кількість кусків збільшується на 4. Тому остача від ділення кількості всіх кусків на 4 не змінюється. Але 5 при діленні на 4 дає остачу 1, а 1975 ― остачу 3.
Відповідь. Не можна

97. Кенгуру стрибає уздовж прямої. Довжина кожного стрибка дорівнює 1 м. Чи може кенгуру, перебуваючи в деякій точці прямої, за 101 стрибків знову повернутися у цю ж точку?
Розв’язання. Якби кенгуру повернувся у початкову точку, то кількість стрибків в один бік дорівнювала б кількості стрибків у протилежний бік і загальна кількість стрибків була б парною. Число 101 непарне, тому кенгуру за 101 стрибків повернутися у ту саму точку не може.

98. На дошці написані числа 1, 2, 3, …, 11. Дозволяється стерти будь-які два числа і написати їхню суму, зменшену на 1, тобто, якщо стерли числа а і b, то можна написати число а + b – 1. Повторивши таку операцію 10 разів, одержимо одне число. Знайти це число.
Розв’язання. Якщо замість чисел а і b написати число а + b – 1, то сума усіх чисел на дошці зменшиться на 1. Знайшли інваріант: сума усіх чисел на дошці після кожної операції зменшується на 1.
Початкова сума: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66. За 10 операцій сума зменшиться на 10 і дорівнюватиме 56.
Отже, єдине число, яке залишиться на дошці, — число 56.

99. На чудо-дереві ростуть 25 ананасів та 10 кокосів. Протягом одного дня дозволяється одночасно зірвати з нього два плоди. Якщо зірвати два ананаси або два кокоси, то відразу виростає ще один кокос, а якщо зірвати один ананас та один кокос, то виростає один ананас. Через скільки днів на дереві залишиться один плід? Який це плід?
Розв’язання. Кожного дня кількість плодів зменшується на 1, тому на 35-й день залишиться один плід. За один день число ананасів або зменшується на 2, або не змінюється. Спочатку була непарна кількість (25) ананасів, тому непарною має бути кількість ананасів і на 35-й день. Отже, єдиний плід, який на залишиться дереві, — ананас.

100. На кожному з 44 дерев, що розміщені по колу, сидять по одному горобцю. Час від часу якісь два горобці перелітають на сусіднє дерево ― один за годинниковою стрілкою, а другий ― проти. Чи можуть усі горобці зібратися на одному дереві?
Розв’язання. Пронумеруємо дерева по колу з 1-го по 44-е. Сума номерів дерев, на яких сидять горобці, при їхньому перелітанні або не змінюється, або змінюється на 44, тому остача відділення цієї суми на 44 не змінюється. Спочатку ця остача дорівнювала 22, а якщо всі горобці сядуть на одне дерево, ця остача дорівнюватиме нулю. Отже, горобці не можуть зібратись на одному дереві.

101. 1989 чоловік вишикувані в шеренгу. Чи завжди їх можна вишукувати по росту, якщо дозволяється міняти місцями двох людей, які стоять через одного?
Розв’язання. При перестановках зберігається парність номера місця. Тому, коли самий високий стоїть на парному місці, він ніколи не стане першим.
Відповідь. Не завжди.

102. Робінзон Крузо кожний другий день поповнює запаси питної води з джерела, кожний третій день збирає фрукти і кожний п'ятий день ходить на полювання. Сьогодні 13 листопада. У Робінзона важкий день: він повинен у цей день робити всі три справи. Коли у Робінзона буде наступний важкий день?
Вказівка:
Будемо рахувати, скільки днів пройде, починаючи з важкого дня. Якщо це число ділиться на 2, то Робінзон повинен поповнити запас води. Якщо ділиться на 3, то поповнити запас фруктів. А якщо ділиться на 5, то сходити на полювання. А якщо він робить всі три справи одночасно, то кількість днів, яка має пройти до наступного важкого дня ділиться і на 2, і на 3, і на 5. Вперше це відбудеться через 30 днів. Так як у листопаді 30 днів, то наступний важкий день буде 13 грудня.
Відповідь: 13 грудня.

103. Чи може сума 2015 послідовних натуральних чисел закінчуватись тією ж цифрою, що і сума наступних 2019 чисел?
Вказівка: Серед 2015+2019=4034 підряд записаних натуральних чисел є 2017 непарних і 2017 парних чисел. Отже, загальна сума 4034 чисел непарна. Тому останні цифри суми 2015 послідовних натуральних чисел і суми наступних 2019 чисел мають різну парність.
Відповідь: не може

104. На галявині зібралися 25 гномів. Відомо, що:
1) кожний гном, який одягнув ковпак, одягнув і взуття;
2) без ковпака прийшли 12 гномів;
3) босоніж прийшло 5 гномів.
Яких гномів і на скільки більше: тих, хто прийшов у взутті, але без ковпака або тих, хто одягнув ковпак?
Вказівка:
З умови 2) слідує, що в ковпаку прийшли 25 - 12 = 13 гномів. З умови 1) отримуємо, що 13 гномів прийшли в ковпаку і у взутті. З умови 3) випливає, що всього у взутті прийшло 25 - 5 = 20 гномів. Отже, 20 - 13 = 7 гномів прийшли у взутті, але без ковпака. Це означає, що гномів, які одягнули ковпаки на 6 більше, ніж гномів, які прийшли у взутті, але без ковпаків.
Відповідь: гномів, які одягнули ковпаки на 6 більше, ніж гномів, які прийшли у взутті, але без ковпаків.

105. Покажіть, як розрізати фігуру, зображену на рисунку, на 5 рівних фігур (Фігури називаються рівними, якщо при накладанні вони співпадають. Фігури можна перевертати).

106. Знайдіть останню цифру числа 2+12 + 22 + ... + 992.
Вказівка:
2+12 + 22 + ... + 992 = (02 + 12 + ... +92) + (102 + 112 + ... + 192) + … + (902 + 912 + … + 992).
Легко бачити, що у кожної суми в дужках одна і та ж остання цифра. Оскільки їх 10, то у всієї суми остання цифра дорівнює 0.
Відповідь: 0.

107. Учні класу разом мали 2016 олівців. Один з учнів загубив коробку з 18 олівцями, взамін купив коробку з 25 олівцями. Скільки тепер олівців в учнів цього класу?
Вказівка : 2016 – 18 + 25 = 2023
Відповідь: 2023.

108. Дід, Баба, Пес і Кіт ділили коробку цукерок. Бабі дісталося вдвічі більше цукерок, ніж Псу, а Псу вп’ятеро менше, ніж Коту, втім Коту – на 8 цукерок більше, ніж Псу. Скільки цукерок було у коробці, якщо Дідові дісталась порожня коробка?
Вказівка : Візьмемо кількість цукерок Пса за одну частину. Тоді у Кота 5 частин, у Баби 2 частини, а у Діда 0 частин. Втім Коту дісталось на 8 цукерок більше, ніж Псу, а це на 4 частини більше. Отже, одна частина становить 2 цукерки. Оскільки всього 8 частин, то в коробці було 16 цукерок.
Відповідь: в коробці було 16 цукерок.

109. Дванадцять шестикласників прийшли на гурток з математики. Відомо, що кожний шестикласник, який приніс лінійку приніс і олівець. Забули вдома лінійку 9 учнів, а олівець 2 учні. На скільки менше учнів, тих, що принесли лінійку, ніж тих, що принесли олівець, але забули лінійку? Відповідь обґрунтуйте.
Вказівка : 12-9=3 (учні, що принесли лінійку, а також і олівець)
12-2=10 (учнів принесли олівець)
10-3=7 (учнів принесли олівець без лінійки)
7-3=4 (учні - на скільки менше учнів, тих, що принесли лінійку, ніж тих, що принесли олівець, але забули лінійку)
Відповідь: на 4.

110. Яку найменшу кількість множників треба викреслити з добутку 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10, щоб отримане число закінчувалося на цифру 2?
Вказівка : Відмітимо, що обов’язково треба викреслити 5 та 10. А якщо перемножити решта вісім чисел число буде закінчуватися на 6. Отже, хоча б три множника викреслити треба. Викресливши 5, 10 та 3, умова задачі буде виконуватись : 2*(4*9)*(7*8)*6 буде закінчуватись на таку ж цифру, що й число 2*6*6*6, тобто 2.
Відповідь: три множника.

111. До деякого числа додали суму його цифр і отримали 2015. Наведіть приклад такого числа.
Вказівка: 2011+(2+0+1+1)=2015.
Відповідь: 2011.

112. Знайдіть найбільше чотирицифрове число, яке ділиться на 7 і записується різними цифрами. Відповідь обґрунтуйте.
Вказівка: Виберемо найбільші можливі значення в розрядах тисяч, сотень і десятків, тобто будемо шукати число у вигляді . Число 987 ділиться на 7, значить, а повинно ділитися на 7. Так як значення а = 7 вибрати не можна, то а = 0. Число 9870 – шукане.
Відповідь: 9870.

113. Покажіть як на фігурі, зображеній на рисунку провести п’ять відрізків, щоб утворилося вісім рівних частин.
Відповідь:

114. Учителька записала на дошці два натуральних числа. Петя перемножив перше число на суму цифр другого і отримав 201320132013, а Вася помножив друге число на суму цифр першого і отримав 201420142014. Чи не помилився хтось з хлопчиків? Відповідь обґрунтуйте.

Вказівка: Нехай Вася не помилився. Число 201420142014 ділиться на 3, але не ділиться на 9. Тому тільки одне з чисел, записаних на дошці, ділиться на 3, при цьому воно ж не ділиться на 9. В цьому випадку Петя не міг отримати число, яке ділиться на 9, тобто Петя помилився. Таким чином, вони не могли бути праві одночасно. Отже, хтось з хлопчиків помилився.

Відповідь: хтось з хлопчиків помилився.

115. Розшифруйте запис. Однаковими літерами позначені однакові цифри, різними – різні.

Вказівка:
Відмітимо, що м=1, с=6 (інші цифри не можуть задовольняти умову задачі). Замість літер і, н, у можна підкладати цифри 0,2,4,8 у довільному порядку, окрім і=8. Отже, може бути різних відповідей, окрім шість випадків при і=8.
Відповідь: 18 різних відповідей, 10246 – одна із них.

116. Прямокутник складається з шести квадратів. Знайдіть сторону найбільшого квадрата, якщо сторона найменшого з них дорівнює 1 см.

Вказівка:
Нехай х – сторона найбільшого квадрата.
Тоді виконується рівність: х+(х–1)= (х–2) +(х–3) +(х–3). Отже, х=7.
Відповідь: 7 см.