Олімпіада 9 клас

1. Ціна квитка на стадіон була 200 грн. Після зниження цін на квитки, кількість глядачів на стадіоні збільшилася на 50%, а виручка з проданих квитків збільшилася на 14%. Скільки став коштувати квитокна стадіон після зниження ціни?

Відповідь. 152.

Розв’язання. Нехай х - кількість глядачів до зниження ціни, а у - нова ціна квитка. За умовою задачі 1,14 • 200х = 1,5 xy. Звідси у = 152.

2. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21».Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.

Відповідь. 84.

Розв’язання: Припустимо, що це число закінчується на 5. Тоді воно не може закінчуватись на 9, а тому, більше 20. Так як ціле число, більше 20, не може бути менше 21, і шукане число ділиться на 12. Але число, що ділиться на 12, парне, і тому не може закінчуватися на 5. Протиріччя.Отже, шукане число ділиться на 7. Єдине двозначне число, що ділиться на7 і закінчується на 9 - це 49. Але число 49 не ділиться на 12 і більше 21.Протиріччя. Тому шукане число більше 20 і ділиться на 12. Єдине двозначне число, що ділиться на 7 і 12 - це 84.

3. У бригаді 101 кабан. Всі вони ходять на город групами їсти картоплю,причому кожні двоє ходили на город разом рівно по разу, однак вся бригада за один раз на картоплю не ходила. Доведіть, що один з кабанчиків брав участь не менше, ніж у 11 походах за картоплею.

Розв’язання. Нехай в деякому поході беруть участь не менше 11кабанчиків. Тоді будь-який з кабанчиків, що не брали участі у цьому поході, сходить за картоплею не менше 11 разів з кожним з учасників.Якщо ж у кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків, то будь-який кабанчик брав участь не менш, ніж у 11 походах, так як він повинен сходити разом з кожним із 100 інших кабанчиків.

5. Лампи розташовані у вигляді квадрату  , як це показане на рис. Лампи можуть бути у стані «горить» чи «не горить». Є 9 перемикачів, які відповідають кожній лампі. При цьому при натисканні відповідного перемикача змінюють свій стан на протилежний («горить» на «не горить» та навпаки) усі лампи, що розташовані в одному рядку та одному стовпчику з відповідною лампою. На початку усі лампи «не горять». Яку найменшу кількість натискань перемикачів треба зробити, щоб усі лампи стали у стані «горить»?

Відповідь:3.
Розв’язання. Якщо натиснути у будь-якому порядку усі перемикачі ламп одного рядка чи стовпчика, то все буде виконане. Дійсно, наприклад, ми натиснули перемикачі для ламп верхнього ряду. Тоді лампи цього ряду тричі змінюють свій стан, тобто стають у стані горить. а решта – рівно по 1 раз і також стають у стані горить.
Покажемо, що меншою кількістю обійтися не можна. Дійсно, наприклад, було натиснуто рівно 2 перемикачі. Тоді принаймні в одному рядку не була натиснута лампа, так само існує стовпчик, в якому також не була натиснута лампа. На перетині цього рядка та стовпчика лампа – не змінює свій стан.

7. Є дошка 50×50. Двоє по черзі закреслюють вибрану ним клітинку, а також клітинки, які знаходяться над нею і справа від неї. Програє той, хто закреслить ліву нижню клітинку. Хто виграє при правильній грі: починаючий чи його партнер?

Відповідь. Виграє перший. Вказівка. Першим своїм ходом він повинен закреслити квадрат 49×49, а потім ходити симетрично.

8. Серед трьох монет одна фальшива (легша від двох інших, однакових за вагою). За допомогою одного зважування на терезах без гир виділити фальшиву монету.

Розв’язання. Покладемо на кожну шальку терезів по одній монеті, а третю відкладемо в сторону. Якщо шальки перебувають у рівновазі, то відкладена монета і є фальшивою ; у протилежному випадку терези покажуть легшу, тобто фальшиву монету.

9. З 61 монети за 4 зважування виділити фальшиву (важчу за справжні).

Розв’язання. Розділимо монети на три групи : 21, 21, 19. На терези покладемо перші дві групи по 21 монеті, а третю групу з 19 монет відкладемо. При цьому можуть бути два випадки : шальки терезів не зрівноважені і зрівноважені. Розглянемо кожний з цих випадків.

І. шальки зрівноважені, отже, важча монета серед 19 відкладених. Розділимо ці 19 монет на 3 групи (7,7,5) та порівняємо на терезах вагу перших двох груп (це буду друге зважування). Знову може трапитись, що : а) терези зрівноважені ; б) терези не зрівноважені . У випадку а) фальшива монета серед 5 відкладених. З них за наступні два зважування спочатку порівняємо 2 та 2 монети, відклавши п’яту; якщо п’ята не фальшива, то зважуємо дві монети з тієї шальки, що переважила. Якщо ж терези не зрівноважені ( випадок б)), то фальшива монета серед семи монет. Розділимо цю групу на 3,3,1 монети та покладемо на шальки терезів по три монети і т.д. І в цьому випадку для розв’язування потрібно не більше як чотири зважування.

ІІ. Шальки з монетами ( на кожній по 21 ) не зрівноважені. Відклавши 7 монет, покладемо на кожну шальку по 7 монет. Це буде друге зважування. Отже, і в цьому випадку потрібно чотири зважування.

У тому разі, коли з умови задачі не випливає вага «особливого» предмета (легший він чи важчий від інших) , для його виділення необхідно, як правило, виконати додаткове зважування.

Так, у задачі про виділення з 9 монет однієї фальшивої – (невідомо, легша вона від справжніх чи важча) , двома зважуваннями вже не обійтись, доведеться «переважувати » монети тричі.

Іноді такі задачі дещо видозмінюють, вводячи, наприклад, обмежену кількість гир певної ваги.

10. Є 5 монет , серед яких одна фальшива ( невідомо, легша вона чи важча за справжні). Вага справжньої монети 5 г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна виявити фальшиву монету, маючи одну гирю вагою 5 г?

Розв’язання. Позначимо монети А,В,С,Д,Е. Покладемо монети А,В на одну шальку терезів та монету С з гирею – на другу . Якщо терези зрівноважені, то фальшива монета серед відкладених Д та Е . Наступним зважуванням, поклавши на терези гирю та монету Д, виявимо фальшиву ( при рівновазі терезів – Е, при нерівновазі – Д). В одному з цих випадків не можна встановити, легша чи важча фальшива монета, але й цього не вимагається в умові задачі. Коли ж терези не зрівноважені, слід розглянути два випадки. Якщо переважує шалька з монетами А,В , то фальшива монета серед трьох : А,В ( тоді вона важча) або С ( тоді С легша). Відкладені монети Д та Е –справжні. Для другого зважування покладемо на одну шальку терезів монети А та С, а на другу – обидві справжні ( або одну справжню і гирю, що одне й те саме), а монету В відкладемо. Якщо зважуванні монети зрівноважаться, то монета В – фальшива ( важча від справжньої). Якщо ж терези не зрівноважені і переважає шалька з монетами А та С, то фальшива А ( важча), коли ж ця шалька легша, то і фальшива монета

 С (легша).

11. Є 101 монета. Серед них 100 однакових справжніх монет і одна фальшива, що відрізняється від них вагою. Необхідно дізнатися, легша чи важча фальшива монета від справжньої. Як це зробити за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир ?

Розв’язання. Покладемо на шальки по 50 монет. Якщо терези врівноважені, то всі монети справжні, тому фальшива монета та, що не на терезах. Легша чи важча вона від справжньої, визначається за допомогою другого зважування в порівнянні зі справжньою монетою. Якщо ж за першого зважування терези не врівноважені, то візьмемо , наприклад, легші 50 монет і поділимо на дві купки по 25 монет, порівняємо вагу цих купок. Якщо їх ваги однакові, то всі ці монети справжні, й фальшива монета знаходиться у важчій купці з 50 монет. Якщо їх ваги не однакові, то фальшива монета легша від справжньої.

12. Сума трьох різних чисел рівна 6, а сума їх попарних добутків рівна 9. Доведіть, що всі ці числа додатні.

Вказівка : Нехай a+b+c=6 та ab+bc+ca=9. Тоді ab=9-c(a+b)=9-c(6-c)=(c-3)²≥0. Аналогічно bc=(a-3)² та ac=(b-3)². Відмітимо, що якщо одне з чисел дорівнює 0, то інші два дорівнюють 3, що протирічить умові задачі. А якщо одне з них від’ємне, то і решта від’ємні, що протирічить  a+b+c=6. Отже, всі ці числа додатні.

13. Чи існують непарні цілі числа a, b, c  для яких виконується рівність (a+b)²+(a+c)²=(b+c)².

Вказівка : Перепишемо рівність (a+b)²+(a+c)²=(b+c)² Û (a+b)(a+c)=2bc. Оскільки ліва частина рівності ділиться на 4, а права ні, то таких чисел не існує.

Відповідь: таких чисел не існує.

14. В яку найбільшу кількість кольорів можна розфарбувати клітинки шахової дошки 8х8 таким чином, щоб кожна клітинки межувала по стороні хоча б з двома клітинками того ж кольору?

Вказівка : Розділимо дошку на 16 квадраті 2х2 і кожен з них зафарбуємо в інший колір. Це розфарбування в 16 кольорів задовольняє умову задачі.

Доведемо, що більша кількість кольорів задовольняти умову задачі не може. Нехай знайшовся колір з трьох клітинок, тоді лише одна з них може межувати з двома клітинками (див рис.). Отже, кожного кольору не менше чотирьох кліток, а кольорів не більше 16.

Відповідь: 16 кольорів.

15. Чи  може  дискримінант  квадратного  тричлена  з  цілими  коефіцієнтами  дорівнювати  2015?

Вказівка:

Нехай нам даний квадратний тричлен ах²+bx+с і його дискримінант D=b²-4ас=2015. Звідси b²=4ас+2015=4(ас+503)+3, тобто b² має остачу 3 при діленні на 4. Проте квадрати парних чисел діляться на 4, а квадрати непарних чисел мають остачу 1 при діленні на 4, оскільки (2m+1)²=4m²+4m+1. Таким чином, дискримінант квадратного тричлена з цілими коефіцієнтами не може дорівнювати 2015.

Відповідь: не може.

16. У тридев'ятому царстві є тільки два види монет : 16 і 27 тугриків. Чи можна заплатити за один зошит ціною в 1 тугрик і отримати здачу?

Вказівка:

Можна, наприклад заплатити трьома монетами по 27 тугриків і отримати здачу п'ятьма

монетами по 16 тугриків.

Відповідь: можна.